小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列”
满足：
，当
为偶数时，
，当为奇数时，
有
的几率为
，有的几率为
.
(1)求
的分布列和数学期望.
(2)求的前
项和的数学期望
.
满足：，当为偶数时，，当为奇数时，有的几率为，有的几率为.(1)求
的分布列和数学期望.(2)求
的前项和的数学期望.
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更新时间：2023-04-10 05:43:02
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相似题推荐
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】若存在常数 k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得无穷数列 {a n }满足a n +1
，则称数列{an }为“段差比数列”，其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {bn }为“段差比数列”．
（1）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比数列，求 d 、 t 的值；
（2）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n 项和为 S3n ．若不等式 S3n≤ λ ⋅ 3n−1对 n ∈ N *恒成立，求实数 λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为 b，段差为 d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {bn }，对任意正整数 n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 写出所有满足条件的 {bn }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．
，则称数列{an }为“段差比数列”，其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {bn }为“段差比数列”．（1）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比数列，求 d 、 t 的值；
（2）已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n 项和为 S3n ．若不等式 S3n≤ λ ⋅ 3n−1对 n ∈ N *恒成立，求实数 λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为 b，段差为 d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {bn }，对任意正整数 n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 写出所有满足条件的 {bn }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．
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【推荐2】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝
，正项数列{bn}满足b1＝1，bn+12﹣1＝4bn（bn+1）（n∈N*）.
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式.
（2）若数列{cn}满足cn﹣3n＝（﹣1）n﹣1•λ（bn+1）（λ为非零常数），是否存在整数λ，使得对任意（n∈N*），都有cn+1＞cn，若存在，求出整数λ的值，若不存在，请说明理由.
（3）在数列{bn}的任意相邻两项bk与bk+1之间插入k个（﹣1）kak后，得到一个新数列{dn}，求数列{dn}的前2019项的和.
，正项数列{bn}满足b1＝1，bn+12﹣1＝4bn（bn+1）（n∈N*）.（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式.
（2）若数列{cn}满足cn﹣3n＝（﹣1）n﹣1•λ（bn+1）（λ为非零常数），是否存在整数λ，使得对任意（n∈N*），都有cn+1＞cn，若存在，求出整数λ的值，若不存在，请说明理由.
（3）在数列{bn}的任意相邻两项bk与bk+1之间插入k个（﹣1）kak后，得到一个新数列{dn}，求数列{dn}的前2019项的和.
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为给定的正奇数，定义无穷数列
：
若
是数列
.
是空集；
正奇数
，求集合
.（若
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知数列的通项公式为
，
，记
.
（1）求
，
的值；
（2）是否存在实数
，使得对任意，
恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
的通项公式为，，记.（1）求
，的值；（2）是否存在实数
，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
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【推荐2】已知抛物线
，点
为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点
与点
，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于
、
.
(1)若直线
斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为
；
(2)过点
作直线分别交x轴和抛物线于
、
，过点作直线分别交x轴和抛物线于
、
，且
，直线
斜率与直线
斜率互为相反数.证明数列
为等差数列.
，点为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、.(1)若直线
斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；(2)过点
作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数.证明数列为等差数列.
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的点
在曲线
：
上，曲线
交于点
，与
轴交于点
．设点
，记
．正数数列
满足
，
．
之间的关系式；
的取值范围；
，设数列
的前
．
解答题-应用题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为
秒，求的分布列和期望；
(3)若初始状态共
个士兵
，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第
个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率
，以及当取得最大值时取值．
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为
，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；(3)若初始状态共
个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标
表示，其中
．而在n维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标
，其中
．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与
坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于
．
（已知对于正态分布
，P随X变化关系可表示为
）
表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于
．（已知对于正态分布
，P随X变化关系可表示为）
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐3】某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由
（
）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为
，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为
（例如：
表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；
表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若每个元件正常工作的概率
．
①当
时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
②计算．
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为
，每件高端产品的利润是2元．请用
表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．(1)若每个元件正常工作的概率
．①当
时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；②计算
．(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为
，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
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解答题-应用题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：
欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系：年入流量 |
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发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
有如下关系：年入流量 |
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一台未运行发电机年维护费 | 500 | 800 |
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐3】小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中
次，求
；
(3)记
表示小明投篮
次，恰有2次投中的概率，记
表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：
.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中次，求；(3)记
表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.
您最近半年使用：0次
