【推荐2】已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求，其中；
(3)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前项和.

【推荐3】已知是等比数列，是等差数列，且，
(1)求和的通项公式；
(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为：，，求．

【推荐1】设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.

【推荐2】已知无穷数列满足（）．其中均为非负实数且不同时为0.
（1）若，且，求的值；
（2）若，，求数列的前项和；
（3）若，，求证：当时，数列是单调递减数列.

【推荐3】新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.

【推荐1】若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值．

【推荐2】已知是等比数列，是等差数列，且，
(1)求和的通项公式；
(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为：，，求．

【推荐3】设各项均为正数的数列的前项和为，且对任意恒有成立；数列满足：，且.
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）①记，证明数列为等比数列；
②若数列的前项和为，求的值.

【推荐1】已知数列的前n项和为，，，.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围.

【推荐2】在数列中，，，，若数列是等比数列．
(1)求实数；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求证：.

【推荐3】新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.