【推荐1】如图，A₁B₁C₁D₁是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，AA₁=5，BB₁=8，CC₁=12，求该几何体的体积.

【推荐2】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，(为圆柱的高，为球的半径，).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该储油罐的建造费用为千元.

(1) 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2) 若预算为万元，求所能建造的储油罐中的最大值(精确到)，并求此时储油罐的体积(单位: 立方米，精确到立方米).

【推荐1】如图所示，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB＝2BC，AC＝AA₁＝BC．

（1）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB₁C₁？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心．

（1）若，求证；
（2）若上存在点，使平面，求的值．

【推荐3】如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2，
   
(1)证明：；
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
(3)在线段PD上是否存在点N，使得∥平面MCN﹖若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，五棱锥中，平面平面ABCDE，，△ABE为边长为4的等边三角形，四边形BCDE为等腰梯形，，．，M为线段AP上一点，．

(1)求证：平面MCD；
(2)求二面角的余弦值．

【推荐2】如图一，平面四边形关于直线对称，．
把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，
（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且．

(1)证明：异面直线CE与AP所成角为定值．
(2)已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，平面CEF与PA交于点N，求EN的长．