【推荐1】过点的直线与轴和轴正半轴分别交于、．
（1）当最小时，求直线的方程；
（2）当的面积最小时，求直线的方程．

【推荐2】记是内角，，的对边分别为，，．
(1)若，点在边上，．证明：；
(2)若，，请用，表示并求面积的最大值．

【推荐3】求下列函数的最值.
(1)的最小值；
(2)的最大值.
(3)的最大值.

【推荐1】国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军(决赛只赛一场).以八支战队的比赛为例(如图所示)，第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进入下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.
                       双败流程示意图（以八支战队为例）

（1）求甲获得冠军的概率；
（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为，求随机变量的分布列和期望.

【推荐2】陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望.
(3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值.

【推荐3】甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
(1)乙取胜的概率；
(2)设比赛局数为，求的分布列．

【推荐1】某公司引进了三台生产性能完全相同的新设备生产某种产品，销售部根据每台设备的每月生产能力及当月每件产品的纯收入（一台设备当月生产的每件产品的纯收入相等）做了调查，得如下表格：

产量（件）	300	400		纯收入（元/件）	45	60
概率	0.25	0.75		概率	0.4	0.6

（1）设一台设备一个月生产产品的纯收入为元，求的分布列及数学期望；
（2）若三台设备相互独立，求该公司二个月生产该产品所获得的总纯收入超过48000元的概率.

【推荐2】已知某工厂有甲乙两条互不影响的生产线，同时生产一种内径为的零件.为了对它们生产质量进行检测，分别从生产的零件中随机抽取部分零件绘成频率分布直方图如下：

（1）从直方图中数据均值说明哪条生产线加工零件精确度更高?（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）记加工的零件内径尺寸落在[25.38，25.42）的零件为一等品，零件内径尺寸落在[25.42，25.50]的为二等品，零件内径尺寸落在[25.30，25.38）的为三等品，每个零件一等品、二等品和三等品的利润分别为200元、100元和50元.
①从两条生产线生产的零件中分别取一个零件，求甲生产线上零件精度等级高于乙生产线上零件等级的概率；
②现有10000个零件需要加工，其中甲生产线加工个，乙生产线加工个，以工厂利润的期望为决策依据，在和之中选其一，应选哪种方案使工厂的利润最大?

【推荐3】在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某学生小组通过问卷调查，随机收集了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据.分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律.经过数据整理，得如表：

	卫生习惯	垃圾处理	体育锻炼	心理健康	膳食合理	作息规律
有效答卷份数	380	550	330	410	400	430
习惯良好频率	0.6	0.9	0.8	0.7	0.65	0.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立.
（1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类“作息规律”是第六类用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者，2，3，4，5，.求出方差，，2，3，4，5，，并由小到大排序.

【推荐2】某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列，使，记．
(1)求的概率；
(2)求且的概率．

【推荐3】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．