【推荐1】拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．

【推荐2】法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.

【推荐3】已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为__________.

【推荐1】在中，，，若对任意的实数t，恒成立，则面积的最大值是______．

【推荐2】已知的内角的对边长成等比数列，，
（1）则__________．
（2）若延长至使得，当面积的最大值为时，则__________.

【推荐3】在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为______.

【推荐1】已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.

【推荐2】如图，在中，，，D，E分别是直线，上的点，，，且，则_____．若P是线段上的一个动点，则的最小值为_______．

【推荐3】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________．

【推荐1】在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．

【推荐2】已知都是单位向量，且，则的最小值为_____；最大值为________

【推荐3】如图，已知，，，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆，圆上的动点，且，则的取值范围是______．