【推荐1】已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
(1)求曲线的方程；
(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在原点的圆C与直线l₁:相切，动直线交圆C于A，B两点，交y轴于点M.

（1）求圆C的方程；
（2）求实数k、m的关系；
（3）若点M关于O的对称点为N，圆N的半径为.设D为AB的中点，DE，DF与圆N分别相切于点E，F，求的最小值及取最小值时m的取值范围.

【推荐3】已知圆的方程．
（1）若点在圆的内部，求的取值范围；
（2）若当时，
①设为圆上的一个动点，求的最值；
②问是否存在斜率是1的直线，使被圆截得的弦，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知圆的半径为，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于不同的两点，且为时，求的面积.

【推荐2】已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.

【推荐3】已知直线与圆.
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）过点作两条互相垂直的直线.若与圆相交于两点，与圆相交于两点，求的最大值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆，A，B是椭圆上两点，且直线AB的斜率为.

（1）求证：OA与OB的斜率之积为定值；
（2）设直线AB交圆于C，D两点，且，求的面积.

【推荐2】已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点.
（i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值；
（ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

【推荐3】莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，．
(1)求的欧拉线方程；
(2)记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值．

【推荐1】已知圆的圆心为，且截轴所得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)设圆与轴正半轴的交点为，过分别作斜率为的两条直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点坐标.

【推荐2】在平面直角坐标系中，点为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点，且，
（1）求圆的方程；
（2）设是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.

【推荐3】已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.
①求曲线的方程，并说明曲线的形状；
②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.