平面上，直线
和
相交于点
，它们的夹角为
.已知动点
到直线与的距离之积为定值
，动点的轨迹记为曲线
.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为
轴，建立直角坐标系，如图.
(1)求曲线的方程；
(2)当
，
时，直线
与曲线顺次交于A、B、C、D四点，求证：
；
(3)当
，
时，是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点（点B在线段
上），使得
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
和相交于点，它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值，动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为轴，建立直角坐标系，如图. (1)求曲线
的方程；(2)当
，时，直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点，求证：；(3)当
，时，是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点（点B在线段上），使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
更新时间：2023-12-15 16:57:35
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知点
，直线
，动点M到F的距离是它到直线l距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过F作直线交曲线C于点A，B，过点A作直线l的垂线，垂足为D，连结BD，证明直线BD过定点，并求出这个定点．
，直线，动点M到F的距离是它到直线l距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过F作直线交曲线C于点A，B，过点A作直线l的垂线，垂足为D，连结BD，证明直线BD过定点，并求出这个定点．
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解题方法
【推荐2】设双曲线
的方程为
，
、
为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引
，
，
与
交于点
.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为
，、的离心率分别为
、
，当
时，的取值范围.
的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点.（1）求
点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为
，、的离心率分别为、，当时，的取值范围.
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和圆
都外切．
，记直线AQ和BQ的斜率分别为
，
，且
，
于点P．证明：存在点N，使得
为定值．
【推荐1】已知双曲线
，过点
作直线交双曲线
的两支分别于，两点，
(1)若点恰为
的中点，求直线的斜率；
(2)记双曲线的右焦点为
，直线
，
分别交双曲线于
，两点，求
的取值范围.
，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，(1)若点
恰为的中点，求直线的斜率；(2)记双曲线
的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.
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【推荐2】已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点
的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
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分别是双曲线
的左、右焦点，A是双曲线C的左顶点，
，离心率为
.
为斜率的直线
，求k的取值范围．
【推荐1】已知双曲线
过点
，且焦距为
.
(1)求的方程；
(2)已知过点
的动直线交的右支于
两点，为线段
上的一点，且满足
，证明：点总在某定直线上.
过点，且焦距为.(1)求
的方程；(2)已知过点
的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.
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【推荐2】已知双曲线
，其虚轴长为
，直线
与曲线的左支相交于相异两点.
(1)求
的取值范围；
(2)为坐标原点，若双曲线上存在点，使
（其中
），求的面积的取值范围.
，其虚轴长为，直线与曲线的左支相交于相异两点.(1)求
的取值范围；(2)
为坐标原点，若双曲线上存在点，使（其中），求的面积的取值范围.
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（
）和双曲线
的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
（
，
），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为
、
.
，求
的值（用a、b的代数式表示）；
；
，求
的值．
