【推荐1】已知椭圆长轴的长为4，N为椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为_______.

【推荐2】圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.

【推荐3】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.

【推荐1】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，且点在双曲线上，则双曲线的方程为________．

【推荐2】已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程__________．

【推荐3】已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为__________．

【推荐1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且在第一象限，点是点关于原点对称的点.当，时，椭圆的离心率的取值范围是_________.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆过椭圆的上顶点，双曲线和椭圆有相同的焦点，为曲线与的一个公共点，若，则曲线与的离心率的乘积为______.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，点A在以为直径的圆上，若，则的值是______________．