【推荐1】设点，的坐标分别为，，直线和相交于点，且和的斜率之差是1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过轨迹上的点，，作圆：的两条切线，分别交轴于点，.当的面积最小时，求的值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.

【推荐3】已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
(3)是的右焦点，设点位于第一象限，的平分线交于点，求证：.

【推荐1】已知圆，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为．
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．

【推荐2】已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

【推荐3】已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.

【推荐1】给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；
（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.

【推荐2】椭圆的长轴长为4，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线与直线交于点P，记、、的斜率分别为、、，问是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．

【推荐1】已知分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆的上顶点, 为正三角形, 且为椭圆上一点, 为椭圆外一点,的最小值为,过点且垂直于轴的直线交为椭圆于两点, 直线与相切并且交椭圆于在直线的两侧）两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最大时, 求直线的方程.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若为曲线上两点，点在直线上，试在①直线过点；②；③直线过点三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于A、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.