【推荐1】已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点.
（1）求的轨迹的方程；
（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.

【推荐2】已知圆，点，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P．
(1)求动点P的轨迹的方程C；
(2)设分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；
(3)过点的动直线l交曲线C于两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，椭圆的左右焦点分别为，且过的直线交椭圆于两点，且.

(1)若，，求椭圆的标准方程.
(2)若，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

【推荐1】已知动点到点与点的斜率之积为，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的一点，直线与直线分别交于两点，求线段长度的最小值．

【推荐1】已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若；
①证明：直线过定点；
②求四边形面积的最大值．

【推荐2】已知点P在圆上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)设，，过点作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.
（ⅰ）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ⅱ）设直线，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【推荐3】已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆：的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆自上而下交于两点.

（1）证明：直线与的交点在定直线上；
（2）记和的面积分别为和，求的取值范围.

【推荐2】如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在C上．
   
(1)求C的方程；
(2)若点坐标为，过F且不与x轴重合的直线交C于A，B两点，设直线，与C的另一个交点分别为M，N，记直线的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线AB的方程．

【推荐3】设椭圆，直线，O为坐标原点.
（1）设点在C上，且C的焦距为2，求C的方程；
（2）设l的一个方向向量为，且l与（1）中的椭圆C交于A.B两点，求证： 为常数；
（3）设直线l与椭圆C交于A.B两点，是否存在常数k，使得的值也为常数？若存在，求出k的表达式及的值；若不存在，请说明理由.