【推荐1】已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，是椭圆上一点，，.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为线段中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，为椭圆上一动点， 面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆的另一个交点为，为线段的中点，射线与椭圆交于点．点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴的交点为定点，求的值及定点的坐标.

【推荐1】世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，两个信号源相距10米，是线段的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠与点间的距离为米.

(1)以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻时机器鼠所在位置的坐标.
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？

【推荐2】已知一动圆与圆外切，且与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点作直线交于两点，且点是线段的中点，求的方程．

【推荐3】.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

【推荐1】已知两点、，动点满足，记的轨迹为曲线，直线（）交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；
（2）若，求△的面积；
（3）证明：△为直角三角形.

【推荐2】在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
（1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程；
（2）射线的方程（），如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点､，且，求椭圆的方程；
（3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换得抛物线：，如此进行下去，对抛物线：作变换，得：若，，求数列的通项公式.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程，并写出焦点的坐标；
(2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆与两点，为的右焦点，求的面积.

【推荐2】“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记，，)，在的正东方向，相距 千米，在的北偏西方向，相距千米，为航天员着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于，两地比距远，在此秒后，，两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为千米/秒，求在处发现的方位角.

【推荐3】已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.