【推荐1】已知数列的前项和为，且成等差数列，．
（l）求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.

【推荐2】已知数列各项都是正数，，对任意都有.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

【推荐3】已知数列满足：，．
(1)求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．

【推荐2】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值为元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

【推荐3】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（3）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．

【推荐1】国家鼓励公民通过技能培训考试获取技能资格证，凭证上岗就业．按规定某人依次进行理论、实践操作两科考试，当基础理论合格时，方可进入实践操作考试，且两科均有一次补考的机会，两科都合格就能获取技能资格证书，今年李华报名参加考试，假定他每次考基础理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，且不放弃每次考试或补考机会，且每次考试互不影响．
（1）求李华恰好经过3次考试获取技能资格证书的概率；
（2）记李华参加考试的次数为，求的分布列和数学期望．

【推荐2】随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”.“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x（单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y（单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.

（1）将y表示为x的函数；
（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y不少于67000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，（例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率），求小王的网店下一个月销售利润y的分布列和数学期望.