【推荐1】已知函数．
（1）判断函数的零点个数；
（2）求证：有两个极值点，且．

【推荐2】已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，．

【推荐3】已知函数．
(1)若，求的单调区间与极值；
(2)若当时，恒有，求的取值范围；
(3)设，证明：．

【推荐1】已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

【推荐2】设为一个含有个元素的集合，为集合的互不相同的个子集. 证明：在集合中存在一个元素，使得，，…，仍为互不相同的集合，其中，.

【推荐3】已知互异的正实数、、、满足.
证明：从、、、中任取三个数作为边长，共可构成四个不同的三角形.

【推荐2】对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．
(1)首项为1，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；
(2)设是数列的前项和，若数列是数列，那么数列是否为数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；
(3)若数列，都是数列，求证：数列是数列．

【推荐3】已知单位向量、夹角为60°，向量，，函数，函数.
(1)求出并解方程；
(2)设，，证明，求出；
(3)设数列中，，，，求的取值范围，使对任意成立.