【推荐1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.

(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.

【推荐2】求下列函数的导数．

(1)
(2)

【推荐3】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．

【推荐1】已知的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大129.
(1)计算；
(2)求展开式中有理项的系数.

【推荐2】已知的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024.
（1）求的值，并求展开式所有项的系数之和；
（2）写出展开式中所有的整数次幂的项.

【推荐3】在下面三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；
条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的乘积为256.
问题：在二项式的展开式中，已知__________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中的常数项.

【推荐1】已知.
(1)求的值；
(2)求的值.

【推荐2】已知：.
(1)若，求二项展开式中奇数项系数的和
(2)若，求二项展开式中系数最大项.

【推荐3】已知展开式的二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．

【推荐1】已知的展开式中所有项的系数和为.
(1)求的展开式中二项式系数最大的项；
(2)求的展开式中的常数项.

【推荐2】的展开式中，把叫做三项式的次系数列．
(1)求的值；
(2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：．

【推荐3】（1）展开式中第几项的系数最大，并写出这一项；
（2）求展开式中项的系数.