特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列
满足
，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①
对应的特征方程为
，该方程有两个不等实数根
；②令
，其中
，
为常数，利用
求出A，B，可得的通项公式．已知数列
满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式
的最小整数
的值；
(3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：
都不是
的元素．
满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足．(1)求数列
的通项公式；(2)求满足不等式
的最小整数的值；(3)记数列
的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素．
更新时间：2024-05-23 10:06:44
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】已知集合
，对于
，
，定义A与B的差为
，A与B之间的距离为
.
(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意
，有
；
(2)证明：任意
，有
是偶数；
(3)证明：
，有
.
，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为.(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意，有；(2)证明：任意
，有是偶数；(3)证明：
，有.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】已知集合
，
，
，若
，
，
或
，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合
和集合
是否具有“包容”性；
(2)若集合
具有“包容”性，求
的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，
，试确定集合C．
，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．(1)判断集合
和集合是否具有“包容”性；(2)若集合
具有“包容”性，求的值；(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，
，试确定集合C．
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，非空集合
.若集合E满足：对任意
，存在
，使得
，称集合E为集合A的一组m元基底.
；
.
；
的一组m元基底，求m的最小值.
【推荐1】已知数列，，
满足：
，
．
（1）若是等差数列，且公差
，求数列的通项公式
；
（2）若、均是等差数列，且数列的公差
，
，求数列的通项公式．
，，满足：，．（1）若
是等差数列，且公差，求数列的通项公式；（2）若
、均是等差数列，且数列的公差，，求数列的通项公式．
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【推荐2】高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记
表示不超过x的最大整数，则
称为“高斯函数”．例如：
，
．
(1)设
，
，求证：
是
的一个周期，且
恒成立；
(2)已知数列的通项公式为
，设
．
①求证：
；
②求
的值．
表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．(1)设
，，求证：是的一个周期，且恒成立；(2)已知数列
的通项公式为，设．①求证：
；②求
的值．
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，且对任意n
，
恒成立.
是等差数列，并求数列
，已知
，
，
(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j.
解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知
为有穷整数数列，若
满足：
，其中
，
是两个给定的不同非零整数，且
，则称具有性质
.
(1)若
，
，那么是否存在具有性质的
？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且
具有性质，求证：
中必有两项相同；
(3)若
，求证：存在正整数
，使得对任意具有性质的
，都有
中任意两项均不相同.
为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.(1)若
，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；(2)若
，，且具有性质，求证：中必有两项相同；(3)若
，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
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(0.15)
名校
【推荐2】给定数列｛an｝，若数列｛cn｝满足：对｛an｝中任意相邻的两项an和an+1，均存在某项cm，使得
≤0，则称｛cn｝是｛an｝的“分隔数列”.
(1)已知｛an｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛an｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10 ②0，5，8 ③1，7，5
（ii）设｛cn｝是｛an｝的项数为3的“分隔数列”，且｛cn｝各项均为整数，则所有满足条件的｛cn｝的个数为_________.
(2)已知｛an｝为递增的无穷等比数列，a1＝1，Tn是｛an｝的前n项和，若数列｛Tn｝是｛an｝的分隔数列，求｛an｝的公比q的取值范围：
(3)是否存在无穷等差数列｛an｝，Sn是｛an｝的前n项和，使得数列｛Sn｝是｛an｝的分隔数列？说明理由.
≤0，则称｛cn｝是｛an｝的“分隔数列”.(1)已知｛an｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛an｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10 ②0，5，8 ③1，7，5
（ii）设｛cn｝是｛an｝的项数为3的“分隔数列”，且｛cn｝各项均为整数，则所有满足条件的｛cn｝的个数为_________.
(2)已知｛an｝为递增的无穷等比数列，a1＝1，Tn是｛an｝的前n项和，若数列｛Tn｝是｛an｝的分隔数列，求｛an｝的公比q的取值范围：
(3)是否存在无穷等差数列｛an｝，Sn是｛an｝的前n项和，使得数列｛Sn｝是｛an｝的分隔数列？说明理由.
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，则
时，
．例如：已知数列
，前
，所以
．
，求
，且数列
的前
，证明：
．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】已知数列的通项公式是
，数列是等差数列，令集合
，
，将集合
中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为.
(1)若
，写出一个符合条件的的通项公式，并说明理由；
(2)若
，且数列
在
上严格单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
，数列的前5项成等比数列，且
，试求出所有满足条件的数列.
的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为.(1)若
，写出一个符合条件的的通项公式，并说明理由；(2)若
，且数列在上严格单调递增，求实数的取值范围；(3)若
，数列的前5项成等比数列，且，试求出所有满足条件的数列.
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困难
(0.15)
【推荐2】已知横坐标为
的点
在曲线
：
上，曲线在点处的切线与直线
交于点，与
轴交于点．设点，的横坐标分别为
，记
．正数数列
满足
，
．
（Ⅰ）写出
之间的关系式；
（Ⅱ）若数列为递减数列，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，设数列
的前项和为，求证：
．
的点在曲线：上，曲线在点处的切线与直线交于点，与轴交于点．设点，的横坐标分别为，记．正数数列满足，．（Ⅰ）写出
之间的关系式；（Ⅱ）若数列
为递减数列，求实数的取值范围；（Ⅲ）若
，设数列的前项和为，求证：．
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为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
；
，使得
的正整数对
有k个.
；
