【推荐1】已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性并证明；
（Ⅱ）若对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立，问：为何值时，最大？证明你的结论.

【推荐2】已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【推荐3】设函数是定义域为R的奇函数.
(1)求；
(2)若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
(3)若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知定义域为的函数同时满足：①对于任意的，总有；②；③若，则有．
(1)求的值；
(2)求函数的最大值；
(3)证明：满足上述条件的函数对定义域内任意实数x，都有．

【推荐2】已知函数， .
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

【推荐3】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

【推荐1】已知函数，
(1)当时，求函数的最小值；
(2)讨论函数，，的零点个数.

【推荐2】已知函数在时有最大值和最小值，设.
(1)求实数，的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【推荐3】已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1，记为.
(1)求实数，的值；
(2)若不等式成立，求实数的取值范围；
(3)对于任意满足的自变量，，，…，，如果存在一个常数，使得定义在区间上的一个函数，恒成立，则称函数为区间上的有界变差函数，试判断函数是否是区间上的有界变差函数，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由.

【推荐1】已知，试比较与的大小，并给出你的证明．

【推荐2】不等式的解集为，求实数的取值范围

【推荐3】若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点.
（1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点；
（3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x₁是区间的λ₁一内点，x₂是区间的λ₂一内点，且不等式x₁²≤ωa²+（1﹣ω）b²和不等式x₂²≤（1﹣ω）a²+ωb²对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ₁+λ₂＝1.