【推荐1】已知椭圆与圆相切于长轴的端点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的右焦点，设的顶点在椭圆上，角的平分线与轴重合，若且与轴不垂直，求点的坐标.

【推荐2】如图，已知椭圆的长轴长为，过点的直线与轴垂直，椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且.

(1)求此椭圆的方程；
(2)设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得.连接并延长，交直线于点，为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线与直线分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的一个顶点为，离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于，两点，满足，过点作，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线是否过定点，如果是，则求出此定点的坐标，如果不是，则说明理由；
(3)写出面积的最大值.

【推荐2】已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值．
(1)设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若，求直线l的方程．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，是椭圆的右顶点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的面积．

【推荐1】设椭圆方程（），，是椭圆的左右焦点，以，及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形.
（1）求椭圆方程；
（2）过分别作直线，，且，设与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值.

【推荐2】已知椭圆:，直线（）与椭圆交于不同的两点、.
（1）若，求的值；
（2）试求（其中O为坐标原点）的最大值.

【推荐3】如图所示，已知A₁，A₂，B₁，B₂分别是椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点，△A₁B₁B₂的外接圆为圆M，椭圆C过点．
（1）求椭圆C及圆M的方程；
（2）若点D是圆M劣弧上一动点（点D异于端点A₁，B₂），直线B₁D分别交线段A₁B₂，椭圆C于点E，G，直线B₂G与A₁B₁交于点F．
（i）求的最大值；
（ii）E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．