【推荐1】已知数列满足：，且．
(1)求，，的值，并猜想的通项公式；
(2)试用数学归纳法证明上述猜想．

【推荐2】已知数列满足,.
（1）计算的值,猜想数列的通项公式;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【推荐3】对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，经数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入断，再输出，并依此规律继续下去．现定义．

(1)若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
(3)是否存在时，在输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】设数列的前项和为，已知、、成等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，的前项和为，求使成立的最大正整数的值．

【推荐2】已知数列中，，．
(1)记，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)记，求数列的前项和．

【推荐3】 已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.

【推荐1】已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【推荐2】已知数列的首项，且满足，数列的前n项和满足，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前19项和．

【推荐3】已知数列 的各项均为正数， ，且对任意 ， 为 和1的等比中项，数列满足.
（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；
（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值.