【推荐1】已知在数列中，，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.

【推荐2】已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐3】已知数列前n项和为，满足．
（I）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）数列满足，为数列的前n项和，若对正整数a都成立，求a的取值范围．

【推荐1】已知：数列中，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）比较与的大小，并说明理由.

【推荐2】已知数列满足，且
(1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和T_n.

【推荐3】足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：

（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；

点球数	20	30	30	25	20	25
进球数	10	17	20	16	13	14

（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为.
（i）求，，（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列.

【推荐1】数列的前项和为，在①，②成等比数列，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答下列问题．
问题：已知，，若数列满足，为数列的前项和，求证：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐2】已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．

【推荐3】数列是等比数列，等差数列的前项和为，满足，，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求证：.

【推荐1】已知函数 (是自然对数的底数，).
（I）证明：对，不等式恒成立；
（II）数列的前项和为，求证：．

【推荐2】已知数列满足，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：．

【推荐3】在数列中，，
（1）求的值；
（2）是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
（3）设，，证明：当时，．