【推荐1】【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}均不是常数列，若a₁＝b₁＝1，且a₁，2a₂，4a₄成等比数列， 4b₂，2b₃，b₄成等差数列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得a_mb_j，a_ma_nb_i，a_nb_k成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令c_n＝，记{c_n}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝＋A_nc_n，设{p_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜4＋4lnn．

【推荐2】已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

【推荐3】已知数列，具有性质P：对任意（）与，两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和．
（1）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P：
（2）证明：且；
（3）证明：当时，成等差数列．

【推荐1】已知非零向量列满足：，，（，）.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）向量与的夹角；
（3）设，将中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，令，为坐标原点，求点的坐标.

【推荐2】已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前 项和为，且是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列满足，．求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，恒有成立，且，为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

【推荐3】已知在数列中，，，，为数列的前项和．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；

【推荐1】设数列，即当时，．记．
(1)写出，，，；
(2)令，求数列的通项公式；
(3)对于，定义集合，求集合中元素的个数．

【推荐2】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.

【推荐3】一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.
（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；
（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.