【推荐1】轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．

（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；
（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?

【推荐2】已知O为坐标原点，点P在椭圆上，的左、右焦点恰为双曲线的左、右顶点，的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)若直线l与相交于A，B两点，AB中点W在曲线上．探究直线AB与双曲线的位置关系.

【推荐1】设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．

【推荐2】已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点．
(1)当直线的斜率为时，求；
(2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知双曲线与直线．
(1)若直线与双曲线C相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线的方程；
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

【推荐2】已知双曲线.
(1)过点的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.

【推荐3】已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
(1)若点恰为的中点，求直线的斜率；
(2)记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.

【推荐1】已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.
①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线恒过定点.

【推荐3】已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线交于两点.
（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；
（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）