【推荐1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_________.

【推荐3】长方体的个顶点都在球的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为________.

【推荐1】如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点与公共左焦点，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长轴长的(，且为常数)倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是__________.

【推荐3】设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.

【推荐1】已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______．

【推荐2】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①; ②; ③; ④．其中正确的式子序号是______________．

【推荐3】若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论：
①和一定有交点；
②若，则；
③若，则；
④设与在第一象限内相交于点，若，则．
其中，所有正确结论的序号是______．

【推荐1】已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则_______

【推荐2】设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则________.

【推荐3】已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为_____________．