24. 问题提出:
在如图所示的正方形网格中,我们称格线的交点为格点,以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”.如图所示正方形
ABCD、
EFGH都是“格点正方形”,那么像图中这种
(即边长为8个单位)的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢?
问题转化:
我们可以把“格点正方形”分为两类:一类称作“正向正方形”,即“格点正方形”的边在格线上的,如正方形
ABCD;另一类称作“斜向正方形”,即“格点正方形”的边不在格线上的,如正方形
EFGH.
探究一:
我们先来研究“正向正方形”的个数和:
①在
的正方形网格中,“正向正方形”的个数是1;
②在
的正方形网格中,
边长为2的“正向正方形”的个数为1;
边长为1的“正向正方形”的个数为4;
在
的正方形网格中,“正向正方形”的个数和是:
;
③在
的正方形网格中,
边长为3的“正向正方形”的个数为1;
边长为2的“正向正方形”的个数为4;
边长为1的“正向正方形”的个数为9;
在
的正方形网格中,“正向正方形”的个数和是:
;
④在
的正方形网格中,“正向正方形”的个数和是:
;
⑤在
的正方形网格中,“正向正方形”的个数和是:
.
探究二:
经过研究得到
的正方形网格中,“斜向正方形”的个数和是0;
的正方形网格中,“斜向正方形”的个数和是1;
的正方形网格中,“斜向正方形”的个数和是6;
的正方形网格中,“斜向正方形”的个数和是20;
探究三:
将前面的研究结果制作成表格如下:
| 1×1 | 2×2 | 3×3 | 4×4 | 5×5 |
“正向正方形”的个数和 | 1 | 5 | 14 | | |
“斜向正方形”的个数和 | 0 | 1 | 6 | 20 | |
“格点正方形”的总数 | 1 | 6 | 20 | | |
从表格中数据看出,“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系,
借此规律:在
的正方形网格中,“斜向正方形”的个数和是
.
问题解决:
在
的正方形网格中,“格点正方形”的总数是
个.
拓展延伸:
如果用
表示
的正方形网格中“格点正方形”的总数,那么
.