1 . 如图，等腰三角形中，，，点为边上一个动点，连接，点为点关于的对称点，连接、，当垂直于的一腰时，的长为______．

2 . 如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为______．

3 . 如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是__________．

4 . 综合与探究
如图，过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点，连接．

   

(1)若，则______．
(2)求证：
(3)请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

5 . 如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为 _______．

7 . 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．

(1)当OP＝3时：
①点M         “的l镜像”；（填“在”或“不在”）

②“的l镜像”与x轴交点坐标是       ；

(2)过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长．
(3)如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是        ．

8 . 在中，，，点D为射线上一动点（不与点B、C重合），点B关于直线的对称点为E，作射线，过点C作的平行线，与射线交于点F．连接

(1)如图1，当点E恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，
①依题意补全图形；
②用等式表示和的数量关系，并证明．

9 . 如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（     ）

   

A．8

B．10

C．12

D．14

10 . 如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为______．