【推荐1】在等边三角形外侧作射线AP，，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．

(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)当时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，在中，，平分，点M为线段上一动点（不与A，D重合），于N．
       
(1)若，，求的度数；
(2)当点M在上移动时，直接写出，，之间的数量关系．

【推荐3】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

   

(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，，，点D在BC边上，以每秒2个单位的速度从点B向点C运动，，DE交AC于点E．设运动时间为t．

(1)当时，求证：；
(2)判断线段AD和AE的数量关系，并证明；
(3)求AE的最小值；
(4)若为直角三角形，直接写出t的值．

【推荐3】如图所示，在中，，是上一点，是延长线上一点，且，连接，交于点，那么是否与相等？

【推荐1】如图，是的直径，点是上一点，点是的内心，的延长线交于点，连．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，四边形ABCD为平行四边形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折痕为AF．已知，，．

(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)求BF的长．

【推荐3】如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【推荐1】如图，直线与轴、轴分别相交于点、，设是上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处．

(1)求：点、点和点的坐标；
(2)求：直线所对应的函数关系式．

【推荐2】综合与实践
在研究完平行线的知识内容后，“雄鹰”数学兴趣小组在课外展开了折叠纸片并研究其中问题的活动．
动手操作：
如图1．在一张长方形纸片上有一点P．将纸片依次按以下步骤进行操作：
第一步：将纸片随意折叠并展开铺平，得到折痕，如图2；
第二步：将纸片按如图3的方式折叠，然后展开铺平得到图4．折痕与折痕交于点E：
第三步：将纸片按如图5的方式折叠，然后展开铺平得到图6，折痕为．


观察思考：
“雄鹰”数学兴趣小组一名成员通过观察发现与垂直，为了验证自己的想法，他测量了图中的，发现，于是他就断定．你能解释其中的道理吗？请说明理由．
问题解决：
“雄鹰”数学兴趣小组的另外一名成员受此启发，通过观察，提出了一个猜想：．你认为这个猜想正确吗？请为你的判断说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处．

(1)点E的坐标为       ；
(2)求的周长；
(3)动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值．