【推荐1】综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片，其中，．

(1)操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，可得到一个的角，请你写出一个的角．
(2)探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．

【推荐2】问题提出：已知，，并且与完全重合在一起，将绕点顺时针方向旋转，且，连接并延长交于点．线段与有怎样的数量关系？问题探究：

(1)先将问题特殊化．如图2，当点在上时，证明：．
思路一：要证，因为，所以只要证，若能证得，问题就容易解决了．
思路二：要证，因为，又易得，所以想到构造，则有，若能证得，就可以得到．
反思：这两种思路表面看起来完全不一样，其实这两种思路的思考问题的方式是一样的，就是由已知想可知，由未知想需知．还有，这两种证明思路用到的一些基础知识也是一样的，如：等角的余角相等，等边对等角，等角对等边，顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，等等．
(2)再探究一般情形．如图1，当点不在上时，证明（1）中的结论还成立．
问题拓展：
(3)如图2，过点作交的延长线于点．若，，直接写出四边形的面积．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线相交于点C．

(1)求点A，C的坐标．
(2)现有一动点P沿折线以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒．
①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值．
②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交x轴于点M．当时，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．
   
(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是               ．
(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离．
(3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离．

【推荐2】在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．

小组	探究内容	图形
第一小组	把沿折叠，与重叠部分记为．
第二小组	步骤：1：把矩形沿折叠，使得与重合，点E，F分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．
第三小组	步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点G，H分别为上的点． 步骤2：P为边上动点（与点B，C不重合）， 沿过点P的一条折痕折叠得到．

根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
(1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形．
(2)根据第二小组探究内容，当P，，E三点在同一直线上时，求的长度．
(3)根据第三小组探究内容，过点P的折痕使落在线段上，请直接写出折痕条数与长度取值范围的关系．