1 . 阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组
的解是______．
(2)迁移：请用换元法解方程组：；
(3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组
的解．

2 . 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：

已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果．

3 . 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．

4 . 在的高、交于点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．

5 . 2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度，采取了以下方法：在校门口点处测得大门顶点处的仰角为，步行过马路后，马路宽度约为米，在马路对面的点处测得大门顶点处的仰角为，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则大门高度约为_______米．(仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留位小数，参考数据：)

6 . 数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（       ）

亮亮	天天	花花	丽丽

A．亮亮

B．天天

C．花花

D．丽丽

7 . 科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示．

(1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）；
(2)若，，求板总面积．

8 . 计算
(1)；
(2)；
(3)（运用整式乘法公式简便计算）；
(4)；
(5)（运用整式乘法公式简便计算）．

9 . 如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．

   

10 . 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．

(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）
(2)当时，求三角形的面积．
(3)当时，三角形的面积为__________．
(4)当时，直接写出的值．