名校
1 . 【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×
ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
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2022-09-17更新
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347次组卷
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15卷引用：吉林省长春市朝阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
吉林省长春市朝阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）第01讲 探索勾股定理-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假精品课（北师大版）河南省三门峡市灵宝市实验中学2021-2022学年八年级下学期第一次质量检测数学试题（已下线）专题1.1 探索勾股定理（专项训练）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（北师大版）（已下线）（培优特训）专项17.1 勾股定理的基本应用-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（人教版）（已下线）专题1.3 直角三角形（专项训练）-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（北师大版）吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题北京市海淀外国语实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题吉林省松原市前郭县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题江苏省淮安市清江浦区浦东实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题河南省洛阳市宜阳县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题03 勾股定理【五大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（北京专用）
2 . 【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是
ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是
ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
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2021-09-09更新
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431次组卷
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3卷引用：山东省淄博市高青县2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
3 . [发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
[验证]
______；
[证明]设两个正整数为
，
，请验证“发现”中的结论正确；
[拓展]已知
，
，求
的值．
[验证]
______；[证明]设两个正整数为
，，请验证“发现”中的结论正确；[拓展]已知
，，求的值．
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4 . （1）如图，已知直线
经过点
，
，与直线
交于点
，且直线
交
轴于点
．的函数表达式；
②求点的坐标；
③求
的面积．
（2）观察下列算式，完成问题：
①
；
②
；
③
；
④
……
①按照以上算式的规律，请写出算式⑤
②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和
（为整数），请证明上述命题成立；
③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
经过点，，与直线交于点，且直线交轴于点．
的函数表达式；②求点
的坐标；③求
的面积．（2）观察下列算式，完成问题：
①
；②
；③
；④
……
①按照以上算式的规律，请写出算式⑤
②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和
（为整数），请证明上述命题成立；③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
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2023八年级上·全国·专题练习
5 . 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”．如：
，
，
，因此4，12，20这三个数都是“崇德尚美数”．
(1)判断：36_____“崇德尚美数”（填“是”或“不是”）；
(2)设两个连续偶数为
和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数吗？为什么？
(3)若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试判断该长方形的面积是否为“崇德尚美数”？为什么？（请推理证明）
，，，因此4，12，20这三个数都是“崇德尚美数”．(1)判断：36_____“崇德尚美数”（填“是”或“不是”）；
(2)设两个连续偶数为
和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数吗？为什么？(3)若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试判断该长方形的面积是否为“崇德尚美数”？为什么？（请推理证明）
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6 . （1）分解因式：
；
（2）分解因式：
；
（3）利用分解因式证明：
能被33整除．
； （2）分解因式：
；（3）利用分解因式证明：
能被33整除．
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7 . 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为
的正方形中有一个边长为
的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为
，图2中阴影部分面积为
．
(1)请直接用含和的代数式表示
___________，
___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）．
(2)请依据（1）得到的公式计算：
．
(3)请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含
和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）．(2)请依据（1）得到的公式计算：
．(3)请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
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名校
8 . 阅读下列材料，并回答问题．
利用完全平方公式，可以将多项式
变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
根据以上材料，解答下列问还：
(1)用多项式的配方法将
化成
的形式______；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式
进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤______开始的，然后请你重新写出一个完整的、正确的解答过程：
(3)通过上述材料的学习，证明：
取任何实数时，多项式
的值总为正数．
利用完全平方公式，可以将多项式
变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
根据以上材料，解答下列问还：
(1)用多项式的配方法将
化成的形式______；(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式
进行分解因式的解答过程：解： 步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ |
(3)通过上述材料的学习，证明：
取任何实数时，多项式的值总为正数．
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9 . 如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
(1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式：
；
(2)试证明“神秘数”能被4整除．
，．(1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式：
；(2)试证明“神秘数”能被4整除．
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10 . 如图，C为线段AB上一点，
，
，射线
于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
(1)【发现、提出问题】①当
时，求
的值；
②小亮发现PC取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律____________．
(2)【分析、解决问题】请证明你的猜想．
(3)【运用】当
时，
的周长为_____________．
，，射线于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．(1)【发现、提出问题】①当
时，求的值；②小亮发现PC取不同值时，
的值存在一定规律，请猜想该规律____________．(2)【分析、解决问题】请证明你的猜想．
(3)【运用】当
时，的周长为_____________．
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2023-04-19更新
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216次组卷
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5卷引用：2023年浙江省台州市临海市中考一模数学试题
2023年浙江省台州市临海市中考一模数学试题（已下线）专题07 三角形问题汇总-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（浙江专用）2023年浙江省台州市、临海市、仙居县、三门县、玉环市一模数学试题2023年浙江省台州市仙居市一模数学试题2023年浙江省台州市仙居县中考一模数学试题
