1 . 如图，在矩形
中，
，
，点 P 从点A 出发，沿路径运动，到达 D 点停止运动，点 Q 从点A 出发，沿射线
方向运动。设点 P 运动的路程为 x，点 Q 运动的路程为 
．若
，记
，
(1)求出，
与 x 的函数关系式，并注明 x 的取值范围；
(2)补全表格中 的值
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在 x 的取值范围内画出的函数图象；
(3)在直角坐标系内直接画出的函数图象，观察函数图象，写出一条该函数的性质
。
(4)结合所画图象，直接写出当
时，x的取值范围
中，，，点 P 从点A 出发，沿路径运动，到达 D 点停止运动，点 Q 从点A 出发，沿射线方向运动。设点 P 运动的路程为 x，点 Q 运动的路程为 ．若 ，记， (1)求出
， 与 x 的函数关系式，并注明 x 的取值范围；(2)补全表格中
的值x | 1 | 2 | 5 | 6 |
|
的函数图象；(3)在直角坐标系内直接画出
的函数图象，观察函数图象，写出一条该函数的性质 。
(4)结合所画图象，直接写出当
时，x的取值范围
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2 . 在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）为x轴上一动点，点M（1，﹣1）、点N（3，﹣4），连接AM、MN，点N关于直线AM的对称点为N′．
（1）若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN′（保留作图痕迹），直接写出点N′的坐标 ；
（2）若a＞0，连接AN、AN′，当点A运动到∠N′AN＝90°时，点N′恰好在双曲线y＝
上（如图2），求k的值；
（3）点A在x轴上运动，若∠N′MN＝90°，此时a的值为 ．
（1）若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN′（保留作图痕迹），直接写出点N′的坐标 ；
（2）若a＞0，连接AN、AN′，当点A运动到∠N′AN＝90°时，点N′恰好在双曲线y＝
上（如图2），求k的值；（3）点A在x轴上运动，若∠N′MN＝90°，此时a的值为 ．
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名校
3 . 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
(1)补全作法2中的证明过程；
(2)如图③，反比例函数
与
的图象在同一平面直角坐标系中，点
，
是函数
图象上两点，作射线
，
分别交函数
图象于点
，
，连接
，
，此时
．请写出证明过程；
(3)如图④，当反比例函数，的图象都在第一象限时，借助函数图象作出平行线．
借助反比例函数图象作平行线 我们已经学会一些来平行线的方法，如利用一副三角板通过平移其中一个三角板画平行线，或利用尺规作等角画平行线等，下面我们介绍一种新的平行线的方法：用一个三角板借助反比例函数图象作平行线．作法1：反比例函数  的图象如图①所示，利用三角板过点 作直线， 分别交反比例函数图象于点，，，，连接，，此时．
 ， ．由反比例函数的中心对称性可知， ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．作法2：如图，在反比例函数 的图象中，利用三角板过点作直线，分别交反比例函数图象于点，，，，且连接，，，．，分别交 轴， 轴于点 ， ， ， ，连接 ， ，此时 ．
为平行四边形，∴  ．∴  ，∵  ，，∴  ， |
(1)补全作法2中的证明过程；
(2)如图③，反比例函数
与的图象在同一平面直角坐标系中，点，是函数图象上两点，作射线，分别交函数图象于点，，连接，，此时．请写出证明过程；(3)如图④，当反比例函数
，的图象都在第一象限时，借助函数图象作出平行线．
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2023-05-10更新
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302次组卷
|
2卷引用：2023年山西省大同市广灵县部分学校中考模拟数学试题 （5月）
4 . 如图，平面直角坐标系中点
，
，反比例函数
的图象与线段
交于点，
．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（
）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点
．连接
，求证：
是
的平分线．
，，反比例函数的图象与线段交于点，． 
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段
的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(3)（
）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
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2024-04-05更新
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178次组卷
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3卷引用：2023年河南省周口市郸城县实验考数学模拟预测题
2023年河南省周口市郸城县实验考数学模拟预测题2023年河南省周口市郸城实验中考数学模拟预测题（5月份）（已下线）专题12尺规作图题型总结（5大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）
5 . 如图1，直线l与反比例函数
的图象交于
，
两点．
(1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围；
(3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；
(4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出
的平分线
（不写作法，保留作图痕迹），过点E作
于F，连结
，求
的面积．
的图象交于，两点． (1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)若直线l在反比例函数
的图象上方，请直接写出x的取值范围；(3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；
(4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出
的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积．
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2023八年级下·浙江·专题练习
6 . 已知点P的坐标为
，点Q在x轴上（不与P重合），以
为边，
，作菱形
，使点M落在反比例函数
的图象上．
(1)如图所示，若点P的坐标为
，求出图中点M的坐标；
(2)当
时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形
，并求点
的坐标；
(3)随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M的坐标．
，点Q在x轴上（不与P重合），以为边，，作菱形，使点M落在反比例函数的图象上． (1)如图所示，若点P的坐标为
，求出图中点M的坐标；(2)当
时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形，并求点的坐标；(3)随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M的坐标．
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2022九年级·全国·专题练习
7 . 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
[数学理解]
(1)①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．
(2)函数y＝
（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上 点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．
(3)函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是 ，此时对应的点D的坐标是 ．
[问题解决]
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
[数学理解]
(1)①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．
(2)函数y＝
（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上 点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．(3)函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是 ，此时对应的点D的坐标是 ．
[问题解决]
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
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8 . 在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如下图，过点P（3，6）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”．请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（
，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母代号）
（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”．①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；②在答题卡中的直角坐标系上画出函数图像，观察图像说明该图像可由函数 的图像平移得到；③结合图像探索性质，结论：A．图象与坐标轴没有交点；B．在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 （填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围．
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（
，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母代号）（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”．①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；②在答题卡中的直角坐标系上画出函数图像，观察图像说明该图像可由函数 的图像平移得到；③结合图像探索性质，结论：A．图象与坐标轴没有交点；B．在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 （填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围．
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9 . 如图①，在
中，AB=AC=2，延长
至点，过点作
∥交
的延长线于点，设
，
．
数学思考：
（1）用含的代数式表示的长是 ；与
相似的三角形是 ；与之间的函数关系式是 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对与之间的函数关系的图象与性质进行了探究.下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了与的几组对应值，其中
，
；
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 ；
②当该函数图象与直线
只有一个交点时，图①中线段的长是 ．
中，AB=AC=2，延长至点，过点作∥交的延长线于点，设，．数学思考：
（1）用含
的代数式表示的长是 ；与相似的三角形是 ；与之间的函数关系式是 ；数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对
与之间的函数关系的图象与性质进行了探究.下面是王芳的探究过程，请补充完整：（2）下表列出了
与的几组对应值，其中 ， ；
| … | 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 | … |
| … | 6 | m | 4 |
| n |
| 3 | … |
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 ；
②当该函数图象与直线
只有一个交点时，图①中线段的长是 ．
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10 . 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．我们可以参照初中学习、探究函数的过程与方法，探究分段函数
图象与性质，请将下列探究过程补充完整．
（1）列表：
其中m＝ ，n＝ ；
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，已描出部分相应的点，如图所示，请画出函数的图象；
（3）研究函数并回答下列问题：
①已知点A（－1，y1），B（－
，y2），C（x1，
）D（x2，6），在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x＋b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
图象与性质，请将下列探究过程补充完整．（1）列表：
| x | … | －3 | － | －2 | － | －1 | － | 0 | | 1 | | 2 | | 3 | … |
| y | … | m |  | 1 |  | 2 | | 1 | | 0 | | 1 | | n | … |
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，已描出部分相应的点，如图所示，请画出函数的图象；
（3）研究函数并回答下列问题：
①已知点A（－1，y1），B（－
，y2），C（x1，）D（x2，6），在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x＋b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
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