1 . 如图，正方形
的边长为
是边
的中点，点
是正方形内一动点，且
，连接
，将线段绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，则线段
的长的最小值为______ ．
的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为
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2023-12-08更新
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131次组卷
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2卷引用：陕西省延安市富县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
2 . 问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求
的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，
是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与
的距离为20m，与
的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁
，通往A，B两岛，并修建桥梁
，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，
是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
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2018九年级·全国·专题练习
名校
3 . 如图，在
中，
，
，
是的两条中线，P是上的一个动点，则下列线段的长等于
最小值的是（ ）
中，，，是的两条中线，P是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-12-07更新
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202次组卷
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85卷引用：【万唯原创】2019年陕西省中考试题-试题研究-第四章2
（已下线）【万唯原创】2019年陕西省中考试题-试题研究-第四章2（已下线）【万唯原创】特殊三角形·基础必练（一）（已下线）【万唯原创】三角形及其性质·满分特训（一）陕西省延安市富县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（已下线）2年中考1年模拟 第四篇 图形的性质 专题18 等腰三角形与直角三角形（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题14三角形问题（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题23 最值问题（已下线）2年中考1年模拟 第五篇 图形的变化 专题26 平移、旋转与对称【全国市级联考】湖北省恩施州恩施市2018届九年级中考一模数学试卷【全国校级联考】河北省秦皇岛市青龙县2018届九年级中考一模数学试卷【校级联考】河南省驻马店市确山县2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试卷【校级联考】内蒙古乌拉特前旗三校2018－2019学年八年级上学期期末联考数学试题【区级联考】天津市和平区2017-2018学年八年级（上）期期中数学试题内蒙古乌拉特前旗第三中学2018-2019学年八年级下学期开学数学试题【校级联考】河北省石家庄市正定县2018-2019学年八年级（上）期末数学试题【区级联考】江苏省南通市通州区2018-2019学年八年级上学期期末学业水平质量监测数学试卷【区级联考】广东省广州市荔湾区2018-2019学年八年级（上）期末数学试题【市级联考】辽宁省营口市2019届中考适应性考试数学试题山东省枣庄市滕州市2018-2019学年七年级下学期期末数学试题安徽省合肥市庐江县果树中学2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试题（已下线）湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试题广东省汕头市经济特区林百欣中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题黑龙江省齐齐哈尔市第二十一中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题山东省德州市德城区第九中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题重庆市云阳县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题四川广安市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题河北省唐山市玉田县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题湖北省黄冈市2018-2019学年八年级上学期期中数学试题安徽省芜湖市繁昌县2018-2019学年八年级上学期期末数学试题2019年湖北省荆门市九年级学业水平适应性考试数学试题2020年山东省聊城市东昌府区九年级学业水平模拟考试（一）数学试题2020年云南省昆明市九年级学业水平考试三模数学试题（已下线）【万唯原创】等腰三角形与直角三角形·基础必练（四）（已下线）【万唯原创】三角形及其性质·满分特训（已下线）【万唯原创】2019年河南省中考数学试题研究 练习册第四章三角形1（已下线）【万唯原创】三角形及其性质·基础必练 （一）2020年湖北省随州市广水市中考6月模拟数学试题2020年内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗九年级学业水平一模数学试题（已下线）【万唯原创】2020年安徽省中考数学-试题研究-重难题组特训1（已下线）【万唯原创】2018年安徽省中考数学-试题研究-精讲册-题型二（已下线）【万唯原创】2018年安徽省中考数学-面对面-正文-攻克题型得高分2（已下线）【万唯原创】2018年安徽省中考数学-试题研究-练习册-三角形第一节（已下线）【万唯原创】特殊三角形·满分特训（一）（已下线）【万唯原创】等腰三角形·基础必练（二）（已下线）【万唯原创】2017年山西中考数学-试题研究练习册-第四章4.3第1课时黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校2020-2021学年七年级上学期期末数学试题湖南省岳阳市城区初中2020-2021学年八年级上学期期末数学试题山东省德州市陵城区2017-2018学年八年级上学期期中数学试题辽宁省锦州市黑山县2018-2019学年八年级下学期期中数学试题辽宁省锦州市黑山县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题（已下线）全国卷05—2021年《三步冲刺中考·数学》（全国通用）之第3步中考热身卷2021年云南师大附中中考数学适应性试卷（三）（已下线）期中检测卷01-2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）湖南省长沙市长沙县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题天津市红桥区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题2021-2022学年天津市滨海新区大港十中八年级（上）期中数学试卷2021年广东省梅州市大埔县中考数学模拟试卷天津市河西区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题辽宁省盘锦实验中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学试题山东省泰安市东原实验学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题山东省烟台市招远市教学研究室2022-2023学年七年级上学期期中数学试题天津市武清区2022~2023学年八年级上学期期中数学试卷天津市部分区2022—2023学年八年级上学期期中练习数学试题福建省厦门市集美区后溪中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学测试题（已下线）八年级上册期中测试卷（A卷）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题（已下线）课时练习13. 4 课题学习 最短路径问题福建省宁德市博雅培文学校2022-2023学年七年级下学期6月月考数学试题广东省广州市白云区广东外语外贸大学附设外语学校2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题湖南省怀化市麻阳苗族自治县锦江中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题河南省周口市西华县致远外国语学校等4校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题福建省厦门市蔡林学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学2022-2023学年八年级上学期第一次调研数学试题天津市蓟州区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（已下线）13.3(培优课)将军饮马模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）福建省龙岩市漳平市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题山东省德州市宁津县大曹镇大赵中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题黑龙江省齐齐哈尔市依安县等4地2023-2024学年八年级上学期期末数学试题黑龙江省齐齐哈尔市东部县区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题13.4 课题学习 最短路径问题山东省泰安市岱岳区黄前中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题广西壮族自治区南宁市第十四中学2023-2024学年八年级下学期三月月考数学试题广西壮族自治区南宁市青秀区青秀区凤岭南路中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
4 . 如图，为等边的高，，
分别为线段，上的动点，且
，当
取得最小值时，
的度数为______ ．
为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为
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2023-11-23更新
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173次组卷
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20卷引用：陕西省咸阳天王学校2020-2021学年八年级上学期开学考试数学试题
陕西省咸阳天王学校2020-2021学年八年级上学期开学考试数学试题陕西省西安市部分中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题山东省济南市市中区2018-2019学年七年级下学期期末考试数学试题山东省济南市历下区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题广东省湛江市二十二中学2020-2021学年九年级上学期十月月考数学试题广东省广州市铁一中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题江苏省南京市第一中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题（已下线）期末押题02-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）广西南宁市三美学校2020--2021学年下学期八年级数学模拟试题（一）江苏省南通市启东市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题天津市河西区翔宇中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（已下线）13.4 课题学习 最短路径问题(练习)-2022-2023学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）（已下线）江苏八年级上学期期末【压轴60题考点专练】-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版）福建省福州市仓山区金山中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题福建省福州市仓山区金山中学2023-2024学年八年级上学期期中模拟数学试题福建省福州市四校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（已下线）(期中期末真题汇编)第13章 轴对称 (分层精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题福建省泉州市晋江市金井小片区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（已下线）期中复习与测试（2）（第11-13章）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）
2023八年级上·江苏·专题练习
名校
5 . 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是
，宽都是
，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-11-19更新
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218次组卷
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17卷引用：陕西省榆林市横山区横山中学等三校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
陕西省榆林市横山区横山中学等三校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题陕西省咸阳市秦都区陕西科技大学附中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（已下线）专题03 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）（已下线）专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）（已下线）专题01 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题山东省菏泽经济技术开发区多校联考2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题广东省深圳市宝安中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题辽宁省本溪市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题广东省茂名市博雅中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题山东省枣庄市市中区2023-2024学年八年级上学期期中数学联合教研质量检测试题福建省南安市实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题四川省成都市双流区成都金苹果锦城第一中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题四川省眉山市仁寿县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题湖北省随州市曾都区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（已下线）专题02 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）
6 . 如图，等腰三角形
，的底边
长为
，面积是
，腰
的垂直平分线
分别交，
于点、，若点为底边的中点，点
为线段上一动点，则
的周长的最小值为____________ ．
，的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为
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7 . 如图，在
中，点是对角线上一点，过点作的垂线，交边于点
，交边于点
，连接
，若
，则
的最小值为_________ ．
中，点是对角线上一点，过点作的垂线，交边于点，交边于点，连接，若，则的最小值为
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8 . 如图，A、
两个村庄在一条河
（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、两个村庄的距离之和最小，连接交于点
，则点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ）
两个村庄在一条河（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、两个村庄的距离之和最小，连接交于点，则点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ） | A．两点之间，线段最短 | B．射线只有一个端点 |
| C．两点之间，直线最短 | D．两点确定一条直线 |
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2023-10-04更新
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183次组卷
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2卷引用：陕西省铜川市王益区铜川市第二中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题
9 . 如图，等边三角形
的边长为4，过点的直线
，且与
关于直线对称，为线段
上一动点，则
的最小值为__________ ．
的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为
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2023-09-29更新
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499次组卷
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5卷引用：陕西省渭南市大荔县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
10 . 下列说法：①任何数的零次幂都等于1；②同角或等角的补角相等；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂线段最短，其中正确的有（ ）
| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
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