1 . （1）如图①，在
中，
．若点P是边
上一点．则
的最小值为 ．
（2）如图②，在中，
，
，点E是
的中点．若点P是边上一点，求
的最小值．
（3）公园内有一条四边形
型环湖路，如图③．若
米，
米，
．为满足市民健身需求，现要修一条由
，
连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边
，
上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即
的值最小，求此时
的长．（路面宽度忽略不计）
中，．若点P是边上一点．则的最小值为 ．（2）如图②，在
中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．（3）公园内有一条四边形
型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）
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2 . 如图，在
中，
，点D是边上的一点，将线段
绕点D顺时针旋转得到线段
，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接
，
．
(1)①依题意补全图形；
②若
，判断的形状，并证明；
(2)若
，
，当点D在线段上运动，且
时，线段的最小值为__________．
中，，点D是边上的一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接，．(1)①依题意补全图形；
②若
，判断的形状，并证明；(2)若
，，当点D在线段上运动，且时，线段的最小值为__________．
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名校
3 . 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄
，河边原有两个取水点A、
，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点
（A，，在同一条直线上），并新修一条道路
，已知
千米，
千米，
千米．
(1)是否为村庄到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点与原取水点A相距1千米，求新路比原路
少多少千米．
，河边原有两个取水点A、，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（A，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． (1)
是否为村庄到河边最近的道路，请通过计算加以说明；(2)已知新的取水点
与原取水点A相距1千米，求新路比原路少多少千米．
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2023-11-06更新
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105次组卷
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2卷引用：陕西省咸阳彩虹学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
4 . 如图，在每个小正方形边长为
的网格中，的顶点
，，均落在格点上．
计算线段
______ ；
、
为、边上的动点，连接
、
，使
的值最小，请用无刻度直尺，画出点
和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的
不要求证明
______ ．
的网格中，的顶点，，均落在格点上． 计算线段 、为、边上的动点，连接、，使的值最小，请用无刻度直尺，画出点和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的不要求证明
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5 . 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得
千米，
千米，
千米．是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明，并写出为最近路的依据；
(2)求新路比原路少多少千米？
，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明，并写出为最近路的依据；(2)求新路
比原路少多少千米？
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2023-10-11更新
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79次组卷
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2卷引用：广东省惠州市尚书实验学校2021-2022学年八年级下学期月考数学试题
6 . 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中
，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），测得
千米，
千米，
千米，
(1)问
是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），测得千米，千米，千米，(1)问
是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线
的长．
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名校
7 . 在学习《整式的乘法》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：
（如图1），多项式乘多项式的运算法则：
（如图2），以及完全平方公式：
（如图3）．如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形
拼成的一个大正方形
．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c．
(1)探究：试用两种不同的方法计算图4中这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
(2)应用：如图5，直角三角形
中，
，
，
，则点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为______
．
（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（如图2），以及完全平方公式：（如图3）．如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c． (1)探究：试用两种不同的方法计算图4中这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
(2)应用：如图5，直角三角形
中，，，，则点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为______．
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8 . 如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄，江边原有两个观景台
，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台（点
在同一条直线上），并新修一条路，测得
千米，
千米，
千米．是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
，江边原有两个观景台，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线
的长．
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2023-07-01更新
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257次组卷
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7卷引用：湖北省荆门市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
湖北省荆门市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题03 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）（已下线）专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）（已下线）专题01 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）湖南省花垣县华鑫教育集团2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（已下线）专题02勾股定理（八大题型48道）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）（已下线）专题02 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）
9 . 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式
成立，例如，我们运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到等式
．
理解：
(1)如图
，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为
和
，运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到的等式是______．（用、表示）
应用：
(2)利用（1）中的结论解决问题：若
，
，则
______；
拓展：
(3)如图
，已知中，
，
，
，
，点
是上一动点，求的最小值．
成立，例如，我们运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到等式．理解：
(1)如图
，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为和，运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到的等式是______．（用、表示）应用：
(2)利用（1）中的结论解决问题：若
，，则______；拓展：
(3)如图
，已知中，，，，，点是上一动点，求的最小值．
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，
，
．
；
．
