2 . 如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从C地出发沿着与垂直的方向前进，就可以保持与的方向一致，到达目的地D，并且距离最短．

小明解释理由如下，请你填空：
（已知），
（            ），
最短（             ）．
（已知），
            （       ）．
，
．
（已知），
，
               （等量代换），
（           ）．

4 . 如图，和都是等腰直角三角形，的顶点D在的斜边上，，连接．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

5 . （1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；
（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．
（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．

   

6 . 如图，正方形，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间的数量关系（用等式表示），并证明．
(3)若正方形的边长为2，设四边形的周长为，直接写出的取值范围．

8 . 已知是等边三角形，

(1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长；
(2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：：
(3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点，连接，请直接写出的最小值及此时的长．

9 . 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

10 . 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．

(1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．