1 . 如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想
①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到， ，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

3 . 问题引出：如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，判断和的数量关系．
思路提示：连接，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理和平行线性质可得出和的数量关系．
请根据老师的思路完成本题：
应用拓展：如图，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接、交于点M、N，判断的形状，并说明理由；
能力提高：如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，直接写出的形状．

4 . （1）问题背景：如图1，在中，D为上一点，若．求证：；

（2）尝试应用：如图2，在中，，D为上一点，点E为上一点，且，求的长；
（3）拓展创新：如图3，中，E是上一点，且，连接，，若，直接写出的长．

5 . 【感知】如图①，在中，点、分别是、的中点，连接，可以得到：，且．（不需要证明）

【探究】（1）如图②，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并加以证明．

【应用】（2）在（）的条件下，连接、，则四边形满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是：       ；（只添加一个条件）
（3）如图③，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，对角线、相交于点．若，＝，＝，则四边形的面积为       ．

7 . 已知，为等边三角形，点在边上．

【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知、、，其中a，b，c满足关系．如果在平面内有一点．

（1）________；________；________；
（2）是否存在m，使得以A，O，B，P四点构成的四边形的面积与的面积相等．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，请探究之间的数量关系．

9 . 阅读下面材料，完成相应的任务：

(1)小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是　 　命题(填“真”或“假”)；
(2)小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；
(3)小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'　 　，　 　，则四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．