1 . 【探究发现】
(1)如图(a),正方形的边长为6,E为边的中点,F是边上的一点,将沿对折,点B的对应点为点G,当点G恰好落在上时,求的长.【能力提升】
(2)如图(b),E,F分别是矩形的边,上的点,,,F为的中点,将沿对折,点B的对应点为点G.连接,当时,求四边形的面积.【拓展应用】
(3)菱形的边长为6,,E是边上一点,F是边上一点,将沿对折,点B的对应点为点G.当点G落在菱形的一条边或一条对角线上,且时,直接写出BF的长度.
(1)如图(a),正方形的边长为6,E为边的中点,F是边上的一点,将沿对折,点B的对应点为点G,当点G恰好落在上时,求的长.【能力提升】
(2)如图(b),E,F分别是矩形的边,上的点,,,F为的中点,将沿对折,点B的对应点为点G.连接,当时,求四边形的面积.【拓展应用】
(3)菱形的边长为6,,E是边上一点,F是边上一点,将沿对折,点B的对应点为点G.当点G落在菱形的一条边或一条对角线上,且时,直接写出BF的长度.
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名校
2 . 操作初探:
(1)如图1,将正方形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;再对折,使与重合,得到折痕,展平纸片,连接,与交于点,连接,.则的值为________;
猜想证明:
(2)如图2,将正方形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;点在边上,连接,与交于点,连接,将绕点逆时针旋转,使点的对应点'落在对角线上,连接.当点在边上运动时(点不与,重合),试判断的形状,并说明理由.
拓展探究:
(3)如图3,在(2)的条件下,延长交于点,连接,.当平分时,请证明.
(1)如图1,将正方形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;再对折,使与重合,得到折痕,展平纸片,连接,与交于点,连接,.则的值为________;
猜想证明:
(2)如图2,将正方形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;点在边上,连接,与交于点,连接,将绕点逆时针旋转,使点的对应点'落在对角线上,连接.当点在边上运动时(点不与,重合),试判断的形状,并说明理由.
拓展探究:
(3)如图3,在(2)的条件下,延长交于点,连接,.当平分时,请证明.
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50次组卷
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2卷引用:2024年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考九模数学试题
3 . 【综合与实践】
【探究】(1)小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等,后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比,如图(1),的高和的高相等,则同样,同底的两个三角形,如果面积相等,也有类似的结论,若图形位置特殊,由此会产生一些新的结论,下面是小江同学探索的一个结论,请帮助小江完成证明.如图(2),和的面积相等,求证:.
证明:分别过点、点作和底边上的高线,.
【应用】(2)把图(3)的四边形改成一个以为一边的三角形,并保持面积不变,请画出图形,并简要说明理由.
【拓展】(3)用上述探究的结论和已经证明的结论,证明三角形的中位线定理.
已知:如图(4),______.
求证:______.
证明:
【探究】(1)小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等,后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比,如图(1),的高和的高相等,则同样,同底的两个三角形,如果面积相等,也有类似的结论,若图形位置特殊,由此会产生一些新的结论,下面是小江同学探索的一个结论,请帮助小江完成证明.如图(2),和的面积相等,求证:.
证明:分别过点、点作和底边上的高线,.
【应用】(2)把图(3)的四边形改成一个以为一边的三角形,并保持面积不变,请画出图形,并简要说明理由.
【拓展】(3)用上述探究的结论和已经证明的结论,证明三角形的中位线定理.
已知:如图(4),______.
求证:______.
证明:
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107次组卷
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2卷引用:2024年浙江省杭州市滨江区九年级中考数学一模试题
4 . 在数学课上,王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.王老师对正方形纸片进行如下操作:如图1,将正方形纸片沿过点的一条直线翻折,使点落在点处,折痕为,请同学们在图1的基础上进行探究.【操作发现】
(1)如图2,小明延长交射线于点,连接,过点作的垂线,交的延长线于点,则线段与的数量关系是________.
【深入探究】
(2)如图3,小华在图2的基础上延长,交的延长线于点,在图3中是否存在一条线段与相等?若存在,请找出这条线段并给出证明;若不存在,请说明理由.
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,若正方形纸片的边长为4,当时,请直接写出线段的长.
(1)如图2,小明延长交射线于点,连接,过点作的垂线,交的延长线于点,则线段与的数量关系是________.
【深入探究】
(2)如图3,小华在图2的基础上延长,交的延长线于点,在图3中是否存在一条线段与相等?若存在,请找出这条线段并给出证明;若不存在,请说明理由.
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,若正方形纸片的边长为4,当时,请直接写出线段的长.
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41次组卷
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2卷引用:2024年河南省商丘市永城市九年级中考第二次模拟考试数学试题
5 . 【特例感知】
(1)如图①,为等腰直角三角形,将绕点A逆时针旋转得到,过点C作交直线于点F,直线与直线交于点G,则的形状为______三角形(不用证明).
【类比探究】
(2)如图②,将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”,其余条件均不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由.
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,将“旋转”换成“旋转()”.请直接写出当是等腰三角形时的值.
(1)如图①,为等腰直角三角形,将绕点A逆时针旋转得到,过点C作交直线于点F,直线与直线交于点G,则的形状为______三角形(不用证明).
【类比探究】
(2)如图②,将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”,其余条件均不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由.
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,将“旋转”换成“旋转()”.请直接写出当是等腰三角形时的值.
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6 . 综合与实践
教材重现:取一块质地均匀的三角形木板,用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上,木板会保持平衡(如图),这是重心的物理性质.
(2)猜想验证:莹莹通过测量发现与,与有同样的数量关系,写出它们的关系并说明理由;
(3)尝试运用:利用(2)的结论计算的面积;
(4)拓展探究:莹莹把剪下后得,发现可以与拼成四边形,且拼的过程中点不与点重合,直接写出拼成四边形时的长.
教材重现:取一块质地均匀的三角形木板,用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上,木板会保持平衡(如图),这是重心的物理性质.
莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片,如图,,.为了找到重心,以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起,她先把点与点重叠对折,得折痕,展开后,她把点与点重叠对折,得折痕,再展开后连接,交折痕于点,则点就是的重心.
(1)初步观察:连接,判断与的数量关系并说明理由;
(2)猜想验证:莹莹通过测量发现与,与有同样的数量关系,写出它们的关系并说明理由;
(3)尝试运用:利用(2)的结论计算的面积;
(4)拓展探究:莹莹把剪下后得,发现可以与拼成四边形,且拼的过程中点不与点重合,直接写出拼成四边形时的长.
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2024-06-13更新
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127次组卷
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3卷引用: 2024年山东省聊城临清市中考二模数学试题
7 . 综合与实践
【提出问题】
在一次数学活动课上,老师提出这样一个问题:如图,正方形中,点是射线上的一个动点,过点作交正方形的外角的平分线于点.求证:.
在上截取,连接.
则易得,,______.
..
补全小明的证明思路,横线处应填______.
【深入探究】
(2)如图2,在(1)基础上,过点作交直线于点.以为斜边向右作等腰直角三角形,点在射线上.求证:;
【拓展应用】
(3)过点作交直线于点.以为斜边向右作等腰直角三角形,点在射线上.当,时,请求出线段的长.
【提出问题】
在一次数学活动课上,老师提出这样一个问题:如图,正方形中,点是射线上的一个动点,过点作交正方形的外角的平分线于点.求证:.
(1)如图1,当点在边上时,小明的证明思路如下:
在上截取,连接.
则易得,,______.
..
补全小明的证明思路,横线处应填______.
【深入探究】
(2)如图2,在(1)基础上,过点作交直线于点.以为斜边向右作等腰直角三角形,点在射线上.求证:;
【拓展应用】
(3)过点作交直线于点.以为斜边向右作等腰直角三角形,点在射线上.当,时,请求出线段的长.
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名校
8 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:【观察与猜想】
(1)如图1,在正方形中,点E,F分别是,上的两点,连接,,,则的值为_____;
(2)如图2,在矩形中,,,点E是上的一点,连接,,且,则______.
【类比探究】
(3)如图3,在四边形中,,点E为上一点,连接,过点C作的垂线交的延长线于点G,交的延长线于点F,求证:;
【拓展延伸】
(4)如图4,在中,,,,将沿翻折,点A落在点C处得,点E,F分别在边,上,连接,,.求
①的值;
②连接,若,求的值.
(1)如图1,在正方形中,点E,F分别是,上的两点,连接,,,则的值为_____;
(2)如图2,在矩形中,,,点E是上的一点,连接,,且,则______.
【类比探究】
(3)如图3,在四边形中,,点E为上一点,连接,过点C作的垂线交的延长线于点G,交的延长线于点F,求证:;
【拓展延伸】
(4)如图4,在中,,,,将沿翻折,点A落在点C处得,点E,F分别在边,上,连接,,.求
①的值;
②连接,若,求的值.
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9 . 综合与实践
问题情境:
在“综合与实践”活动课上,老师给出了一张如图1所示的正方形纸片,点在线段上,点在线段上,且满足,连接.
数学思考:(1)线段与的数量关系为___________,位置关系为___________.
猜想证明:
(2)如图2,连接交于点,将绕点顺时针旋转,取线段的中点并记为,连接,猜想线段与之间的数量关系,并说明理由.
拓展探究:
(3)在(2)的基础上继续将绕点顺时针旋转,若,当三点共线时,直接写出线段的长.
问题情境:
在“综合与实践”活动课上,老师给出了一张如图1所示的正方形纸片,点在线段上,点在线段上,且满足,连接.
数学思考:(1)线段与的数量关系为___________,位置关系为___________.
猜想证明:
(2)如图2,连接交于点,将绕点顺时针旋转,取线段的中点并记为,连接,猜想线段与之间的数量关系,并说明理由.
拓展探究:
(3)在(2)的基础上继续将绕点顺时针旋转,若,当三点共线时,直接写出线段的长.
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10 . 【实践操作】(1)如图1,是等边三角形,D是外一点,且,如果将绕点A顺时针旋转,得到,直接写出线段,,之间的数量关系;
【类比探究】
(2)如图2,是等腰直角三角形,,D是外一点,且,试写出线段,,之间的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,在四边形中,,,若,,,求的长和四边形的面积.
【类比探究】
(2)如图2,是等腰直角三角形,,D是外一点,且,试写出线段,,之间的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,在四边形中,,,若,,,求的长和四边形的面积.
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