1 . 已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接．那么和有什么关系？并说明理由．

2 . [问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
[初步思考]
(1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， _____；

(2)如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为_______________；（用m的代数式表示）

[问题解决]
(3)如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（① 直尺为无刻度直尺；② 不写作法，保留作图痕迹）；

[实际应用]
(4)如图4，在边长为6的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是__________________．

3 . 如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为______．

5 . 如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．

   

(1)求证：．
(2)若，求：的长．

6 . 如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．

(1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由；
(2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

7 . 使的条件是（　　）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

8 . 如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，．

(1)求证：；
(2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、．
①依题意补全图形；
②若，求的长．

10 . 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______．