1 . 如图，已知菱形
，连接
，若
，
，，点F在
上，点E在上，连接
、
，则
的最小值是__ ．
，连接，若，，，点F在上，点E在上，连接、，则的最小值是
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2 . 如图，在矩形中，
，
，点
为边上的一个动点，线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
，
．当线段的长度最小时，
的面积为_______ ．
中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为
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3 . 在
中，
，
，点D，E分别为
，
上的动点，且
，
．当
的值最小时，
的长为______ ．
中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为
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名校
4 . 如图，为等腰
底边上的高，
，
，
分别是线段
上的动点，且
，则
取最小值时，其最小值为_______ ．
为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为
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5 . 如图，在正方形中，
，点E，F分别在边，
上，
与
相交于点G，若
，则
的长为_______ ．
中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为
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6 . 矩形中，
，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作
交直线于点F（旋转角为α，
），当点F、E、D三点共线时，线段的长为_____ ．
中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为
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7 . 如图，在正方形中，
，E和F分别是边，上的点，且
，
和
交于点O，P为的中点，则
______ ．
中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则
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名校
8 . 如图，点
是等边三角形
边的中点，点是三角形内一点，连接
，将线段以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则的最小值为_____________________ ．
是等边三角形边的中点，点是三角形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为
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2024九年级下·全国·专题练习
9 . 如图，在正方形中，点为边上一点，连接
，将
绕点顺时针旋转
得到
，在，
上分别截取，，使
，连接
，交对角线
于点
，连接
并延长交于点
．若
，
，则的长为 __ ．
中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为 
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10 . 如图，
，
均为等腰直角三角形，其中
，
，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，
．
的度数为______ ．
（2）若F为的中点，且
，则的长为______ ．
，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，．
的度数为（2）若F为
的中点，且，则的长为
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