1 . 在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，若点在坐标原点，点，

①点的“对应点”的坐标为______；
②若点的“对应点”的坐标为，则点的坐标为______；
(2)如图，已知的半径为1，是上一点，点，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．

①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示）
②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为______（用含的式子表示）

3 . 如图，已知等腰直角，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求的度数；
(2)作的平分线交于点，交的延长线于点，连接，补全图形，用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(3)若的长为，取中点，请直接写出线段的最大值．

4 . 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图中点为点关于点的“垂直图形”．

(1)点A关于原点的“垂直图形”为点．
若点A的坐标为，则点的坐标为___________；
若点的坐标为，则点的坐标为___________；
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
求点的坐标（用含的式子表示）；
若的半径为上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．

6 . 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．

7 . （1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边．
（）过点作于，证明：．
（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长．
（2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）
   

10 . 矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________．