1 . 如图至图，中，，，点在折线上，连接，将沿向右上方折叠，折叠后得到或四边形．
探究如图，若，点在上
①当射线经过点时，求证：；
②当点，的距离最小时，求的长．
尝试如图，若，点在上，当点F在的延长线上时，求的值．
延伸如图，若，，恰好经过点时，直接写出的长．

2 . 平面直角坐标系中点的坐标为，连接，过点做轴于点．

(1)如图，点是上一点，（不与点、重合）作轴于点，轴于点．则；
(2)如图，将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点．则和的数量关系是______；______度．（直接写出答案）
(3)如图，在图的条件下以，为邻边作矩形，连接，则
①矩形一定是正方形，理由：______．（用文字叙述）
②在①的条件下当时，求的长度．

3 . 如图，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边．

(1)如图1，若，求证：与互相垂直平分；
(2)如图2，当时，求点到的距离；
(3)直接写出点经过的路径长．

8 . 【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，．

   
（1）请你针对图（1）给出证明．
【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点．

   
（2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________；
（3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明；
（4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________．