1 . 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

   

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围；
(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：

(1)①当时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，．

(1)求直线的函数表达式和的面积；
(2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标；
(3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．

【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．

7 . 【问题提出】
如图1，在中，，作，垂足为，且，连接，求的面积．
【问题解决】
某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园．按设计要求，要在五边形湖景公园内挖个四边形人工湖，使点F，G分別在边上，且，．已知五边形中，．为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由（结果保留根号）．

8 . 如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为_______．

9 . （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．推断：的值为        ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．

   

10 . 如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．

+   

(1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；
(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长．