1 . 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得．

   

(1)试说明：；
(2)求的长．

2 . 如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．

3 . 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移（）个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（　　）

A．5

B．

C．

D．2

4 . 如图，在中，，垂足为点平分，交于点，交于点，点为的中点，连接，交于点，有以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

5 . 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．

(1)求证：；
(2)求的长

6 . 如图所示，点在上，点在上，，，求证：．

7 . 如图，已知中，，D为的中点，，垂足分别是点E、F，求证：．

8 . 如图，，点D在边上，和相交于点O．

   

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

9 . 如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则_______．

   

10 . 如图，在中，，，于，于，，，求的长．