1 .
【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，，求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，直线交轴于点．
①求点的坐标；②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3．抛物线与坐标轴交于，，三点，已知点，连接，抛物线上是否存在点使，若存在，求出点的横坐标．

2 . 【问题情境】
（1）如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点．求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数．

   

3 . 【建立模型】
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标．
   

4 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．

平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：．

请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．

求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．

5 . 问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
   
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．

6 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明．

7 . 图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中的两个图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形EGFH是正方形．

8 . 如图所示， 在中， ，， 直线l经过顶点C， 过A． B两点分别作l的垂线，， E， F为垂足．

(1)当直线l不与底边相交时， 求证∶．
(2)将直线l绕C点顺时针旋转，使l与底边相交于点D， 请你探究直线l在如下位置时．，，之间的关系（直接写出结论）∶ ①；②； ③．