1 . 【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：

经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系．
(1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
(2)【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程；
(3)【学以致用】
在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程．

2 . 如图，点E是内一点，且．

(1)写出图中与相等的角，并证明；
(2)求证：
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

3 . 【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】
（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．

4 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

5 . 【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在中，平分，．求证：；
①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：；
【学以致用】
（3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E．求的长．

6 . 在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．

(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．

8 . 问题情境：在中，，，点在上，连接，点在上，连接，，．

独立思考

（1）如图1，过点作交延长线于点，探究和的数量关系，并证明．

知识迁移

（2）如图2，过点作于点，交于点，求证：；

拓展探究

（3）若，求的值．

9 . 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论．

10 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．