1 . 【问题背景】如图①，两条相等的线段交于点O，，连结、．求证：．

证明：过点C作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点E，连结．
，，
四边形为平行四边形．

证明过程缺失

为等边三角形．
．
．
即．
（1）补全缺失的证明过程；
【迁移应用】如图（2），在正方形中，，点为边BC上的一点，，点M、N分别为边DC、AB上的动点，且始终保持．
（2）线段MN的长度为__________；
（3）的最小值为__________．

2 . 【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）；
【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：；
【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．

   

3 . 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．
求证：．

分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．
（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．

5 . 【证明推断】
（1）如图①，在正方形中，点是对角线上一点，过点作，的垂线，分别交直线于点，．
①求证：；
②推断：的值为______．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形中，，点是对角线上一点，过点作，的垂线分别交直线于点，，探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程．

6 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

7 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

8 . 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容。

3．角平分线 回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴：如图，是的平分线，P是上任一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E， 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请写出完整的证明过程：

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（1）如图②，在中，，平分交于点．若，，求的长；
（2）如图③，在中，，平分交于点，点在上，点在上．若，，则的最小值为______．

10 . 【方法探索】小米遇到了这样的问题：
   
如图①，两条相等的线段交于点，连接，求证：．
小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整．
【方法应用】如图②，在梯形中，，延长交于点，在上截取，过点作交于点，则线段的数量关系是_______．