1 . 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

2 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

3 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

4 . 【模型建立】
如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

   

【模型运用】
（1）如图1，若，则的面积为        ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

   

【模型拓展】
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，P是直线上一点，将线段延长至点Q，使，将线段绕点B顺时针旋转45°后得，直接写出的最小值．

   

5 . 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．

(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段的数量关系为：______；
(2)拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
(3)迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；

6 . 如图①，在中，延长AC到D，使，E是AD上方一点，且，连接．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
(3)在如图②，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，，求线段的长度．

7 . 如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有______写出所有正确结论的序号

8 . 如图，是的直径，点是的中点，过点作弦，连接，．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若点是的中点，过点作，垂足为点．若的半径为，求的长．

9 . 已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接．

(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．
①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长；
②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长．

10 . 线段，M为的中点，动点 P 到点 M 的距离是1，连接 ，线段 绕点P 逆 时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最小值是____________．