1 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形
是垂等四边形，点
的坐标为
，点
的坐标为
，求点
的坐标；
（2）如图2，正方形
的边长为
，点
在边
上，点
在边
上，点
在边
上，点
在边
上，若四边形满足
，请直接写出四边形
面积
的取值范围；
（3）如图3，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，点在点的左侧，
、
两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且
．设点的横坐标为
，点的横坐标为
，且
，求的值．
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
（2）如图2，正方形
的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积的取值范围；
（3）如图3，已知抛物线
与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求的值．
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2 . 【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是
的高，
，若
，求的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将
沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：
_____．
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，
为的外角
的平分线，交的延长线于点
，则线段
有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形中，
平分
，求的长．
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，
是的高，，若，求的长．小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将
沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．……（1）结合小明同学的想法，请直接写出：
_____．【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，
为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形
中，平分，求的长．
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2024-01-27更新
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200次组卷
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2卷引用：2024辽宁省大连市中考一模考前数学调研题
3 . 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线
交于点E，交于点F，当
时，则必有
．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)证明：∵为等边三角形，
∴
，______①
在和
中，
，
∴
，
∴______③，
又∵
∴
______④，
∴．
中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规在图的基础上作
，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）(2)证明：∵
为等边三角形，∴
，______①在
和中，，∴
，∴______③，
又∵
∴
______④，∴
．
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2024-03-03更新
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67次组卷
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3卷引用：2023学年重庆市铜梁区巴川初级中学校上学期一阶考试九年级数学模拟试题
2023学年重庆市铜梁区巴川初级中学校上学期一阶考试九年级数学模拟试题重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）特色题型专练01 尺规作图-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）
4 . 某数学兴趣小组对一个数学问题的探究过程如下，请仔细阅读，并解答相应问题．
【问题】如图，中，
，
cm，D为边上一个动点，连接，过点C作
，垂足为点E，F为线段
上一点，且
，过点F作
交直线
于点G，判断线段
，
，
的数量关系．
【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段，，的长度随的长度变化而变化，但他们并没有发现明显规律．
【实验】他们借助电脑软件根据点D在
上的不同位置，测量线段，，，的长度，得到下表的几组对应值．
请根据以上信息，完成下列问题．
【猜想】（1）线段，，的数量关系为____．
【证明】（2）请证明上述猜想．
【拓展】（3）上述问题中，若D为射线上的一个动点，F为射线上的一个动点，其他条件不变，当
cm时，直接写出的长．
【问题】如图，
中，，cm，D为边上一个动点，连接，过点C作，垂足为点E，F为线段上一点，且，过点F作交直线于点G，判断线段，，的数量关系．【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段
，，的长度随的长度变化而变化，但他们并没有发现明显规律．【实验】他们借助电脑软件根据点D在
上的不同位置，测量线段，，，的长度，得到下表的几组对应值． cm | 1.00 | 2.00 | 3.00 | 4.00 | 5.00 |
 cm | 0.98 | 1.85 | 2.57 | 3.12 | 3.54 |
 cm | 0.20 | 0.74 | 1.54 | 2.50 | 3.54 |
 cm | 0.78 | 1.11 | 1.03 | 0.62 | 0 |
【猜想】（1）线段
，，的数量关系为____．【证明】（2）请证明上述猜想．
【拓展】（3）上述问题中，若D为射线
上的一个动点，F为射线上的一个动点，其他条件不变，当cm时，直接写出的长．
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5 . 在
中，
，点D是边上一点，过点D作
于点E，点F是边的延长线上一点，且
，连接
，设
两点间的距离为
两点间的距离为
两点间的距离为
．
根据学习函数的经验，我们对因变量随自变量x的变化而变化的规律来进行探究．
(1)列表：下表的已知数据是根据两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的几组对应值：
请你通过计算补全表格：
______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点
，并画出函数
关于x的图象、函数
关于x的图象；
(3)探究性质：请写出一条关于x的函数的性质：_________；
(4)解决问题：当
是等腰三角形时，x大约是______
（结果保留一位小数）．
中，，点D是边上一点，过点D作于点E，点F是边的延长线上一点，且，连接，设两点间的距离为两点间的距离为两点间的距离为．根据学习函数的经验，我们对因变量随自变量x的变化而变化的规律来进行探究．
(1)列表：下表的已知数据是根据
两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的几组对应值： | 0 | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1 | 1.25 | 1.5 | 1.75 | 2 | 2.25 | 2.5 | 2.75 | 3 |
 | 4 | 4.01 | 4.02 | 4.03 | 4.05 | 4.10 | 4.16 | 4.24 | 4.33 | 4.45 | 4.61 | 4.78 | a |
 | 3 | 3.07 | 3.17 | 3.27 | 3.37 | 3.54 | 3.70 | 3.88 | 4.08 | 4.29 | 4.55 | 4.82 | 5.11 |
______；(2)描点、连线：在平面直角坐标系
中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于x的图象、函数关于x的图象；(3)探究性质：请写出一条
关于x的函数的性质：_________；(4)解决问题：当
是等腰三角形时，x大约是______（结果保留一位小数）．
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6 . 将5个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点
，
，……，
分别是正方形的中心，则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______ ；若按此规律摆放个这样的正方形，则这个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______ ．
，，……，分别是正方形的中心，则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是个这样的正方形，则这个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是
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名校
7 . 【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点
、
，则线段AB的中点坐标可以表示为
【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点
，与x轴交于点
，过原点O的直线L将
分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
试说明
；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中
，
，
，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
、，则线段AB的中点坐标可以表示为【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点
，与x轴交于点，过原点O的直线L将分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
试说明；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中
，，，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
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2019-04-10更新
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803次组卷
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8卷引用：2023年山东省济宁市泗水县中考四模数学模拟试题
