1 . 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)证明：∵为等边三角形，
∴，______①
在和中，
，
∴，
∴______③，
又∵
∴______④，
∴．

2 . 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．

特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为______；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数．

3 . 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交，于点O，N．

特例分析：（1）如图2，当旋转到时，判断的形状并说明理由；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论；
拓展延伸：（3）①请求出当是等腰三角形时旋转角的度数；
②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当时旋转角的度数．

4 . 在学习正方形的过程中，小军发现一个规律：在正方形ABCD中，E为AD边上任意一点，连接BE，若过点A的直线，交CD于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小军的思路是：先利用下图，过点A作出BE的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小军的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线AG，交BE于点F，交CD于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ① ，，
∴．
∵ ②
∴，
∴，
∴ ③ ，
在和中

∴．
∴．

5 . 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ）

A．不变

B．一直变小

C．先变大后变小

D．先变小后变大

6 . 在中，，，直线经过点A，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、.

(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线从图①状态开始绕点A旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探究线段、和的数量关系并说明理由.

7 . 在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：

(1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______．
(2)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）；
(3)在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；
(4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若．求出的周长，并说明理由？

8 . 【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点、，则线段AB的中点坐标可以表示为

【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点，过原点O的直线L将分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，试说明；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中，，，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．