1 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．

2 . 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是的边，的中点．求证：，且．

（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长至点F，使，连接”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长是        ．

3 . 如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．

(1)设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
(2)当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
(3)请直接写出与满足的数量关系．

4 . （1）计算：；
（2）如图，，．求证：．

5 . （1）计算：．
（2）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，．求证：．

   

6 . （1）计算：；
（2）如图，点在线段上，，且．求证：．

7 . 如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足．

(1)求证：直线是的切线；
(2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段．

8 . 在矩形中，，，于M，分别交，于点E，F，分别交，于点G，H．

(1)【观察猜想】如图①，当时，线段与线段的数量关系是      ；
(2)【类比探究】如图②，当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)【拓展运用】如图③，在四边形中，，，于G，点E、F分别在边、上，若，求的长．

9 . 如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转．、分别与边、交于E、F两点．下列结论：①；②；③；④AD与EF可能互相平分．其中，正确的结论是________．（填序号）

10 . 如图，是的直径，弦于点，为上一点，，连结分别交，于点、．

(1)求证：．
(2)若，且，求的长．