1 . 如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是__________．
小兰：为定值，长度为2．
小虎：为定值，长度为4．
小天：有最小值，最小值为2．
小灿：有最大值，最大值为4．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．

3 . 在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．

(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．

4 . 综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板（，）的直角顶点放置在另一块直角三角板（，）斜边的中点处，并将三角板绕点任意旋转．
发现结论：
(1)如图，三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点（规定：此时点均在边上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．

问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
(2)如图，连接，当，时，那么直角三角板在绕点旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

5 . 在平面直角坐标系中，对于已知的点，，过点分别作轴和轴的垂线，，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，则点到点的“特征距离”为，若，则点到点的“特征距离”为．
（1）已知点
①点到点的“特征距离”为______；
②点在函数的图象上，若点到点的“特征距离”为1，则点的坐标为______；
（2）已知点，点，为平面内的动点，其中，均为非负数，且满足．以为边作正方形（、、、按顺时指针方向排列），记线段上动点到点的“特征距离”为，直接写出的最大值和最小值，以及相应的点的坐标．

6 . 在等腰直角中，，，D是线段上一点，E是线段延长线上一点，连接、．

(1)如图1，若，，，求的长度；
(2)如图2，过点E作于点F，交于点G，取中点为M，过点A作交延长线于N，若平分，证明：；
(3)如图3，将点C绕点B逆时针旋转度得点P，连接、，当取最小值时，直线与交于点Q，将点Q绕点D顺时针旋转度得点，连接、．若D是中点，，，直接写出面积的最大值．

7 . 如图，D是内一点，P是边上一点，和均为等腰直角三角形，其中，，，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，则求的面积的最大值．

8 . 如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．

   

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．

9 . 如图，相互平行的三条直线，，，与，与之间的距离分别为1，3，若在三条直线上各取一点，构造一个等腰直角三角形，那么作出的等腰直角三角形面积最大值为______．

10 . 如图：已知，直线解析式为与x、y轴交于C，B两点．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点E在线段上，D在线段的延长线上，且，M为线段上一点，当点M，E，D构成以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点D的坐标；
(3)如图2，以点A为中心，顺时针旋转得，点O，B分别对应点H，Q，N为线段的中点，请直接写出面积的最大值．