1 . 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角．

(1)的最小值为_______，最大值为________；
(2)求证：点M在射线上；

2 . 在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
   
(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接，交线段于点T．求证：；
(2)的半径为1，M是上一点，点N在线段上，且（），若p为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．当点M在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

3 . 如图，在锐角中，，分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．
   
(1)求证：；
(2)求面积的最大值；
(3)当面积最大时，在直线上找一点，使得的值最小，求出这个最小值．结果可保留根号

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点先向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“欢乐点”．
   
(1)如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“欢乐点”．
①在图中画出点与点；
②连接，交线段于点，求证：＝；
(2)⊙O的半径为1，是⊙O上一点，点在线段上，且＝（＜＜1），若 为⊙O外一点，点为点P的“欢乐点”，连接．当点在⊙O上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．

5 . 如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．

7 . 在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接，交线段于点．求证：；
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．

9 . 【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．

(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）．
①如图1，当时，与的数量关系为_________；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若，求出四边形的面积；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，直接写出线段长的最小值和最大值．

10 . 在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．