1 . 在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．

2 . 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角．

(1)的最小值为_______，最大值为________；
(2)求证：点M在射线上；

3 . 综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
   
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
   
(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接，交线段于点T．求证：；
(2)的半径为1，M是上一点，点N在线段上，且（），若p为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．当点M在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

6 . 等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论：①；②；③周长最小值是；④面积最大值是．其中正确的是______．

8 . 如图，在锐角中，，分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．
   
(1)求证：；
(2)求面积的最大值；
(3)当面积最大时，在直线上找一点，使得的值最小，求出这个最小值．结果可保留根号

9 . 在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点先向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“欢乐点”．
   
(1)如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“欢乐点”．
①在图中画出点与点；
②连接，交线段于点，求证：＝；
(2)⊙O的半径为1，是⊙O上一点，点在线段上，且＝（＜＜1），若 为⊙O外一点，点为点P的“欢乐点”，连接．当点在⊙O上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．

10 . 如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．